O que acontece se você comprar todas as combinações de bilhetes de loteria?
Guarde suas bolas de cristal e pare de procurar os aniversários dos seus gatos. Existe, teoricamente, uma maneira de garantir que você ganhe na loteria e na verdade é bem simples – compre todas as combinações de números.
Mas o que aconteceria se você o fizesse? Se o fundo do prêmio fosse grande o suficiente, você teria lucro?
Observação: Este artigo é apenas para fins de entretenimento e pretende ser um exercício de matemática e probabilidade. Não estamos dizendo que você deve tentar comprar 14 milhões de bilhetes de loteria.
Quantas combinações de números existem?
Para este exercício vamos usar a Loteria Nacional do Reino Unido (Lotto) na qual os jogadores selecionam 6 números entre 1 e 49 (inclusive). Seis números de jogo regular são sorteados, juntamente com um sétimo número de ‘bola bônus’.
Calcular o número de combinações únicas é relativamente simples. Você tem 49 opções para o primeiro número, 48 para o segundo, 47 para o terceiro e assim por diante. Na Loteria Nacional do Reino Unido (Lotto) a ordem em que as bolas vencedoras são sorteadas não importa, por esta razão também precisamos dividir o número de escolhas pelo número de posições disponíveis – então 49/6, 48/5, 47 /4 etc…
O número de combinações possíveis é, portanto:
49/6 x 48/5 x 47/4 x 46/3 x 45/2 x 44/1 = 13.983.816 (aproximadamente 14 milhões ).
Quais são as chances de ganhar um prêmio?
Não vou entrar no cálculo das probabilidades de cada prêmio específico aqui. Se você estiver interessado, discutimos como calcular as chances de ganhar um prêmio específico na Loteria Nacional (Lotto) com mais detalhes no artigo: Probabilidades da Loteria Nacional – Quais são as chances de ganhar o Jackpot da Loteria?
- Três números: 1 em 56,7
- Quatro números: 1 em 1032
- Cinco números: 1 em 55.491
- Cinco Números + Bola Bônus: 1 em 2.330.636
- O Jackpot – Seis Números: 1 em 13.983.816
Qual é o prêmio em dinheiro e como ele é dividido?
Comprar todas as 13.983.816 combinações de ingressos custaria £ 13.983.816. Mas quanto você ganharia? Isso depende do tamanho do fundo de prêmios, que está diretamente relacionado a quantos ingressos foram comprados e se é ou não um rollover.
Qual é o tamanho do fundo do prêmio?
Para cada bilhete de £ 1 comprado, aproximadamente 45p vai para o fundo de prêmios, enquanto os outros 55p vão para as várias “boas causas” de caridade, com uma porcentagem sendo retida para custos operacionais, custos de varejo e lucro.
Qual é a distribuição do fundo do prêmio?
Combinar 3 números paga um valor fixo de £ 10. Todos os outros prêmios são pagos como uma porcentagem do fundo de prêmios restante distribuído igualmente entre todos os jogadores que ganharam aquele prêmio específico. Por exemplo, se o prêmio em dinheiro alocado para 5 números fosse de £ 100.000 e 10 jogadores acertassem 5 números, cada um receberia £ 10.000.
A percentagem do fundo de prémios atribuído a cada categoria de prémios é a seguinte:
- Três números: £ 10 (fixo)
- Quatro números: 22%
- Cinco números: 10%
- Cinco Números + Bola Bônus: 16%
- O Jackpot – Seis Números: 52%
Se eu comprasse todas as combinações, quanto eu ganharia/perderia?
O quanto você realmente ganharia variaria, dependendo de quantos outros bilhetes premiados houvesse. Mas podemos usar a matemática para calcular os ganhos teóricos.
O fundo médio de prêmios, de acordo com a Loteria Nacional (Lotto), é de aproximadamente £ 4 milhões (~ 8.888.889 bilhetes) – isso antes de comprarmos qualquer bilhete. Se adicionarmos as contribuições do fundo de prêmios de nossas compras de ingressos, isso se tornaria £ 10.292.717,20 (R$ 4 milhões originais mais £ 13.983.816 em compras de ingressos x 45%). O número total de ingressos no jogo seria de aproximadamente 22.872.705.
Distribuição de fundos de prêmios
Usando os números acima, temos os seguintes dados de distribuição de prêmios:
| Prêmio | Chance de ganhar ^ | Alocação de Prêmios (%) | Alocação do Prêmio (£) ^ | Número de vencedores | Prêmio por vencedor ^ |
| Jackpot | 1 em 13.983.816 | 52% | £ 3.252.908 | 1,64 * | £ 1.998.749 |
| Cinco números + bônus | 1 em 2.330.636 | 16% | £ 1.000.895 | 9,81 * | £ 101.987 |
| Cinco números | 1 em 55.491 | 10% | £ 625.559 | 412^ | £ 1.518 |
| Quatro Números | 1 em 1032 | 22% | £ 1.376.230 | 22.155 ^ | £ 62 |
| Três números | 1 em 56,7 | £ 10 fixo | £ 4.037.125 | 403.712 ^ | £ 10 |
* Até 3 algarismos significativos. ^ Para 0 casas decimais
Quanto Ganhamos?
Podemos usar os dados para estimar nossos ganhos teóricos:
| Prêmio | Número de vitórias | Prêmio por vencedor ^ | Vitória por categoria de prêmio ^ |
| Jackpot | 1 | £ 1.998.749 | £ 1.998.749 |
| Cinco números + bônus | 6 | £ 101.987 | £ 611.923 |
| Cinco números | 252 | £ 1.518 | £ 382.452 |
| Quatro Números | 13545 | £ 62 | £ 841.394 |
| Três números | 246820 | £ 10 | £ 2.468.200 |
| Vitória total: | £ 6.292.717 |
^ Para 0 casas decimais
Portanto, nossos ganhos totais são de £ 6.292.717, o que representa 45% de nossa compra original – a mesma porcentagem alocada para o fundo de prêmios. Neste exemplo, nossos ganhos (£ 6.292.717) menos nossos custos de bilhete (£ 13.983.816) resultariam em uma perda líquida de £ 7.691.099 .
O que acontece quando há um rollover?
Como você viu no exemplo acima, não é possível obter lucro teórico em um sorteio regular da Loteria Nacional (Lotto). De fato, comprar todos os ingressos resulta em uma perda substancial de 55%. Que tal um sorteio de rollover?
Um rollover ocorre quando ninguém ganha o jackpot em um determinado sorteio. O prêmio em dinheiro do jackpot é então “rolado” e adicionado ao jackpot da próxima semana. Isso pode acontecer até três vezes (rollover, rollover duplo e rollover triplo). Ter um jackpot acumulado muda o jogo significativamente, pois o fundo de prêmios aumenta proporcionalmente ao número de bilhetes comprados. O efeito é atenuado um pouco pelo aumento do número de jogadores, mas é suficiente para garantir um lucro teórico?
Neste próximo conjunto de exemplos, o número de jogadores em um sorteio afeta o valor acumulado do jackpot. Por esta razão, usaremos os dados reais de um rollover, rollover duplo e rollover triplo ocorridos em abril de 2010.
Rolagem única
Para o primeiro rollover, usamos os dados do fundo de prêmios do Sorteio da Loteria Nacional #1491, realizado em 7 de abril de 2010. O sorteio incluiu um jackpot acumulado de £4.194.487, que foi adicionado a um fundo de prêmios de £8.773.227. Aproximadamente 19,4 milhões de ingressos foram comprados. A este sorteio, adicionamos nossa compra fictícia de 13.983.816 ingressos e nossa contribuição para o fundo de prêmios de £ 6.292.717.
| Prêmio | Alocação de Prêmios (%) | Alocação do Prêmio (£) ^ | Número de vencedores | Prêmio por vencedor ^ | Nossa parte |
| Jackpot | 52% + Jackpot anterior | £ 8.943.283 | 2,39 * | £ 3.745.359 | £ 3.745.359 |
| Cinco números + bônus | 16% | £ 1.461.168 | 14,3 * | £ 101.987 | £ 611.923 |
| Cinco números | 10% | £ 913.230 | 602^ | £ 1.518 | £ 382.452 |
| Quatro Números | 22% | £ 2.009.106 | 32.343 ^ | £ 62 | £ 841.394 |
| Três números | £ 10 fixo | £ 5.893.644 | 589.364 ^ | £ 10 | £ 2.468.200 |
| Vitória total: | £ 8.049.327 |
* Até 3 algarismos significativos. ^ Para 0 casas decimais
A adição do jackpot acumulado aumentou nossos retornos teóricos em quase £ 2 milhões para £ 8.049.327 e reduziu a perda líquida para £ 5.934.489 .
Rolagem dupla
Para o rollover duplo, usamos os dados do fundo de prêmios do Sorteio da Loteria Nacional nº 1492, realizado em 10 de abril de 2010. O sorteio incluiu um jackpot acumulado de £ 7.058.491, que foi adicionado a um fundo de prêmios de £ 16.713.988. Aproximadamente 37 milhões de ingressos regulares foram comprados. A este sorteio, adicionamos nossa compra fictícia de 13.983.816 ingressos e nossa contribuição para o fundo de prêmios de £ 6.292.717.
| Prêmio | Alocação de Prêmios (%) | Alocação do Prêmio (£) ^ | Número de vencedores | Prêmio por vencedor ^ | Nossa parte |
| Jackpot | 52% + Jackpot anterior | £ 14.329.525 | 3,66 * | £ 3.919.367 | £ 3.919.367 |
| Cinco números + bônus | 16% | £ 2.237.241 | 21,9 * | £ 101.987 | £ 611.923 |
| Cinco números | 10% | £ 1.398.276 | 921^ | £ 1.518 | £ 382.452 |
| Quatro Números | 22% | £ 3.076.207 | 49.522 ^ | £ 62 | £ 841.394 |
| Três números | £ 10 fixo | £ 9.023.948 | 902.395 ^ | £ 10 | £ 2.468.200 |
| Vitória total: | £ 8.223.332 |
* Até 3 algarismos significativos. ^ Para 0 casas decimais
A adição do jackpot acumulado aumentou nossos retornos teóricos para £ 8.223.332 e reduziu a perda líquida para £ 5.760.484 .
Rolagem tripla
Para o rollover triplo, usamos os dados do fundo de prêmios do Sorteio da Loteria Nacional #1493, realizado em 14 de abril de 2010. O sorteio incluiu um jackpot acumulado de £ 12.084.100, que foi adicionado a um fundo de prêmios de £ 14.977.718. Aproximadamente 33,3 milhões de ingressos regulares foram adquiridos. A este sorteio, adicionamos nossa compra fictícia de 13.983.816 ingressos e nossa contribuição para o fundo de prêmios de £ 6.292.717.
| Prêmio | Alocação de Prêmios (%) | Alocação do Prêmio (£) ^ | Número de vencedores | Prêmio por vencedor ^ | Nossa parte |
| Jackpot | 52% + Jackpot anterior | £ 18.806.403 | 3,38 * | £ 5.563.750 | £ 5.563.750 |
| Cinco números + bônus | 16% | £ 2.068.401 | 20,3 * | £ 101.987 | £ 611.923 |
| Cinco números | 10% | £ 1.292.751 | 852^ | £ 1.518 | £ 382.452 |
| Quatro Números | 22% | £ 2.844.052 | 45.784 ^ | £ 62 | £ 841.394 |
| Três números | £ 10 fixo | £ 8.342.928 | 834.293 ^ | £ 10 | £ 2.468.200 |
| Vitória total: | £ 9.867.718 |
* Até 3 algarismos significativos. ^ Para 0 casas decimais
A adição do jackpot dobrado aumentou nossos retornos teóricos para £ 9.867.718 e reduziu a perda líquida para £ 4.116.098 .
Nós Ganhamos?
A resposta curta é não. Embora a adição de jackpots acumulados tenha reduzido a perda líquida, o ganho não foi suficiente para gerar um lucro teórico. Com o tempo, com rollovers suficientes, um lucro pode surgir, no entanto, como os jackpots são limitados a rolar três vezes, isso simplesmente não aconteceria.